La formule sin a cos b revient dans une large part des exercices de trigonométrie au programme de terminale spécialité maths. Avec le nouveau programme 2026, cette identité n’est plus un simple outil de calcul annexe : elle fait partie des méthodes attendues pour simplifier des expressions, résoudre des équations et préparer certaines intégrales. Savoir la retrouver, la démontrer et l’appliquer dans des contextes variés fait la différence entre un candidat qui récite et un candidat qui comprend.
Démonstration de sin a cos b à partir des formules d’addition
La formule sin a cos b = 1/2 [sin(a+b) + sin(a-b)] se démontre en quelques lignes. Le point de départ, ce sont les deux formules d’addition du sinus que le programme impose de connaître.
sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b, et sin(a-b) = sin a cos b – cos a sin b. En additionnant ces deux égalités, les termes en cos a sin b s’annulent. On obtient sin(a+b) + sin(a-b) = 2 sin a cos b, soit après division par deux :
sin a cos b = 1/2 [sin(a+b) + sin(a-b)]
Cette démonstration repose uniquement sur les formules d’addition. La reproduire en examen prend moins d’une minute et permet de retrouver la formule si un trou de mémoire survient. Les fiches de révision publiées pour le programme 2026 insistent sur cette capacité à redémontrer plutôt qu’à mémoriser une liste de formules isolées.
Transformer un produit trigonométrique en somme : à quoi ça sert concrètement
La transformation de produit en somme (linéarisation) est le principal usage de sin a cos b dans les exercices de terminale. Quand un énoncé présente un produit de fonctions trigonométriques, le réflexe attendu est de le réécrire comme une somme pour simplifier le calcul qui suit.
Calcul d’intégrales
Intégrer directement sin(x) cos(3x) sur un intervalle donné n’est pas immédiat. En appliquant la formule, on obtient 1/2 [sin(4x) + sin(-2x)], soit 1/2 [sin(4x) – sin(2x)]. Chaque terme se primitive séparément sans difficulté. La linéarisation transforme une intégrale bloquante en calcul élémentaire.
Résolution d’équations trigonométriques
Certaines équations du bac mettent en jeu des produits du type sin(nx) cos(mx) = k. Sans transformation, on tourne en rond. Après linéarisation, on se ramène à une somme de sinus, et la résolution suit la méthode classique : identifier la solution générale sous la forme x = alpha + 2k pi ou x = -alpha + 2k pi, puis restreindre à l’intervalle demandé.
Les QCM et fiches de méthodes publiés pour le programme 2026 présentent cette démarche comme un passage obligé, même quand l’énoncé ne mentionne pas explicitement la formule sin a cos b.
Formules cousines à ne pas confondre avec sin a cos b
La formule sin a cos b fait partie d’une famille de trois identités de transformation produit-somme. Les confondre en examen coûte cher parce que le signe ou la fonction changent d’une formule à l’autre.
- sin a cos b = 1/2 [sin(a+b) + sin(a-b)] – la seule qui donne une somme de sinus
- cos a cos b = 1/2 [cos(a+b) + cos(a-b)] – produit de cosinus, résultat en cosinus, signe + entre les deux termes
- sin a sin b = 1/2 [cos(a-b) – cos(a+b)] – produit de sinus, résultat en cosinus, mais avec un signe – et l’ordre inversé (a-b avant a+b)
Le piège fréquent est d’intervertir le signe dans sin a sin b. La présence du moins devant cos(a+b) distingue cette formule des deux autres. Pour vérifier, il suffit de poser a = b et de contrôler que le résultat est cohérent avec une identité connue (par exemple sin²a = 1/2 [1 – cos 2a]).
Erreurs de méthode repérées dans les copies de spécialité maths
Appliquer sin a cos b ne pose en général pas de problème quand l’exercice est explicite. Les erreurs surviennent quand il faut reconnaître qu’on a besoin de cette formule, ou quand on la combine avec d’autres étapes.
Premier cas : l’énoncé donne une expression comme 2 sin(3x) cos(x) et demande de résoudre une équation. Le facteur 2 devant le produit masque la structure. Repérer la forme 2 sin a cos b = sin(a+b) + sin(a-b) évite de diviser inutilement.
Deuxième cas : après linéarisation, la résolution de l’équation en sinus exige de bien gérer les deux familles de solutions. Oublier la famille x = pi – alpha + 2k pi fait perdre la moitié des solutions sur un intervalle donné. Les ressources de révision 2026 insistent sur cette étape de restriction aux intervalles, en lien direct avec les formules de produits en sommes.
Troisième cas : confondre linéarisation (produit vers somme) et factorisation (somme vers produit). Les deux opérations sont inverses. En exercice, le sens dépend de ce qu’on cherche à faire : linéariser pour intégrer, factoriser pour résoudre une équation.
Stratégie de révision pour la trigonométrie au bac 2026
Le programme 2026 range les identités de somme et différence (dont sin a cos b) dans la partie méthodes de trigonométrie, au même niveau que l’identité fondamentale cos²a + sin²a = 1 et les formules d’angles associés. L’attente n’est pas de réciter, mais de mobiliser ces identités pour simplifier et résoudre.
- Redémontrer chaque formule de transformation produit-somme à partir des formules d’addition, en chronométrant : l’objectif est de retrouver les trois en moins de trois minutes
- S’entraîner sur des intégrales où le produit trigonométrique apparaît sous une forme légèrement modifiée (coefficient, déphasage)
- Travailler la résolution d’équations trigonométriques en vérifiant systématiquement les solutions sur l’intervalle imposé
- Identifier dans les sujets de bac récents les questions où la linéarisation est implicitement attendue sans être nommée dans l’énoncé
La trigonométrie revient dans une majorité de sujets de spécialité maths, souvent combinée avec d’autres chapitres comme les suites ou les intégrales. Maîtriser sin a cos b et ses formules cousines, c’est disposer d’un outil qui débloque des questions dans des exercices en apparence éloignés de la trigonométrie pure. Le gain de temps le jour de l’épreuve se joue là : sur la capacité à reconnaître la structure d’un produit trigonométrique et au transformer sans hésitation.
